Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x．
（1）若f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=3是f（x）的極值點(diǎn)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x進(jìn)行求導(dǎo)，轉(zhuǎn)化成f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，然后將參數(shù)a進(jìn)行分離可求出所求；
（2）根據(jù)x=3是f（x）的極值點(diǎn)，可知f′（3）=0，從而求出a的值，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：（1）∵f（x）=x³-ax²-3x，
∴f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）在[1，+∞）上恒有f′（x）≥0，
即3x²-2ax-3≥0在[1，+∞）上恒成立．
則必有

a

3

≤1且f′（1）=-2a≥0，
∴a≤0，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）∵x=3是f（x）的極值點(diǎn)，
∴f′（3）=3×3²-2a×3-3=0，解得a=4，
∴f′（x）=3x²-8x-3，
令f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）＞0，解得x＜-

1

3

或x＞3，
令f′（x）=3x²-8x-3=（x-3）（3x+1）＜0，解得-

1

3

＜x＜3，
∴f（x）的單調(diào)區(qū)間增區(qū)間為（-∞，-

1

3

）和（3，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-

1

3

，3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的正負(fù)對(duì)應(yīng)著函數(shù)的增減，要注意極值點(diǎn)一定是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根，但是導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)方程的根不一定是極值點(diǎn)．屬于中檔題．