Question

已知雙曲線的兩條漸近線方程是y=x和y=-x，且過點D(

2

，

3

)．l₁，l₂是過點P(-

2

，0)的兩條互相垂直的直線，且l₁，l₂與雙曲線各有兩個交點，分別為A₁，B₁和A₂，B₂．
（1）求雙曲線的方程；
（2）求l₁斜率的范圍
（3）若|A1B1|=

5

|A2B2|，求l₁的方程．

Answer 1

分析：（1）依題意可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0），將點D(

2

，

3

)坐標代入即可得出λ；
（2）由題意l₁，l₂都存在非零斜率，否則l₁，l₂與曲線不都相交．設(shè)l₁的斜率為k，則l₁的方程為y=k(x+

2

)）．與雙曲線的方程聯(lián)立可得(k2-1)x2+2

2

k2x+2k2-1=0 (*)，此方程有兩個不等實根，可得

k2-1≠0 △＞0

；又兩直線垂直，則l₂的方程為y=-

1

k

(x+

2

)，同理可得k的取值范圍，進而得到k的取值范圍．
（3）利用弦長公式和已知條件即可得出．

解答：解：（1）依題意可設(shè)雙曲線方程為x²-y²=λ（λ≠0）
將點D(

2

，

3

)坐標代入得2-3=λ⇒λ=-1
故所求雙曲線方程為y²-x²=1．
（2）由題意l₁，l₂都存在非零斜率，否則l₁，l₂與曲線不都相交．
設(shè)l₁的斜率為k，則l₁的方程為y=k(x+

2

)）．
由

y=k(x+ 2 ) y2-x2=1

消去y得(k2-1)x2+2

2

k2x+2k2-1=0 (*)
依題意方程（*）有兩個不等實根

k2-1≠0 △=8k4-4(k2-1)(2k2-1)=4(3k2-1)＞0 ⇒k2＞ 1 3 且k2≠1

．
又兩直線垂直，則l₂的方程為y=-

1

k

(x+

2

)，
完全類似地有

1

k 2

＞

1

3

且

1

k 2

≠1，
∴

1

3

＜k2＜1且k2≠1．
從而k∈（-

3

，-

3

3

）∪（

3

3

，

3

）且k≠±1．
（3）由（2）得|A1B1|=

1+k2

12 k 2   -4 ( k 2   -1)2

．
完全類似地有|A2B2|=

1+ 1 k2

12 1 k2 -4 ( 1 k2 -1)2

．
∵|A₁B₁|=

5

|A₂B₂|，∴

1+k2

12k2-4 (k2-1)2

=

5

1+ 1 k2

12× 1 k2 -4 ( 1 k2 -1)2

，
化為k²=2．
解得k=±

2

．
從而求l₁的方程y=

2

（x+

2

）或y=-

2

（x+

2

）．

點評：本題考查了等軸雙曲線的標準方程及其性質(zhì)、直線與雙曲線相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．