Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：函數(shù)求導(dǎo)得，討論，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)求單調(diào)區(qū)間即可；

（2）若，分析函數(shù)可知，即，設(shè)，，討論和兩種情況，知成立，時(shí)不成立，時(shí)，存在，使得當(dāng)時(shí)，，可化為，即，設(shè)，分析和求解即可.

詳解：（1）．

當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞增．

當(dāng)時(shí)，若，則，若，則；所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（2）若，在內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以，即.

設(shè)，.

若，時(shí)，，在單調(diào)遞增.所以當(dāng)時(shí)，，

故存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.

若，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以.故不存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.

若，在單調(diào)遞減，因?yàn)?/span>，所以存在，使得當(dāng)時(shí)，，可化為，即.

設(shè)，.

若，則時(shí)，，在單調(diào)遞增，又，所以時(shí)，.故不存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，又，所以.故存在，使得當(dāng)時(shí)，.

綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．