Question

某加工廠需定期購買原材料，已知每公斤原材料的價格為1.5元，每次購買原材料需支付運費600元．每公斤原材料每天的保管費用為0.03元，該廠每天需要消耗原材料400公斤，每次購買的原材料當天即開始使用（即有400公斤不需要保管）．
（1）設該廠每天購買一次原材料，試寫出每次購買的原材料在x天內總的保管費用y關于x的函數(shù)關系式；
（2）求該廠多少天購買一次原材料才能使平均每天支付的總費用y最少，并求出這個y最小值；
（3）若一次購買原材料不少于6噸時其價格可享受八五折優(yōu)惠（即為原價的85%）．問按此優(yōu)惠條件，該廠多少天購買一次原材料才能使每天支付的總費用y最少，并求出這個y的最少（�。┲担�

Answer 1

分析：（1）由題意知每次購買的原材料在x天內總的保管費用y₁=每公斤每天的保管費用×每天需要消耗原材料×使用的天數(shù)，由此可得函數(shù)關系式；
（2）由（1）表示出購買一次原材料的總的費用，除以天數(shù)x后利用基本不等式求出y的最小值及此時的x的值；
（3）由題意可知，享受八五折優(yōu)惠至少15天購買一次原材料，求出購買一次原材料的總的費用，除以天數(shù)x得到夠買一次原材料平均每天支付的總費用y關于x的函數(shù)解析式，利用導數(shù)判斷單調性，由單調性求最值．

解答：解：（1）每次購買原材料后，當天用掉的400公斤原材料不需要保管費用，第二天用掉的400公斤原材料需保管1天，第三天用掉的400公斤原材料需保管2天，第四天用掉的400公斤原材料需保管3天，…，第x天（也就是下次購買原材料的前一天）用掉最后的400公斤原材料需保管x-1天．
∴每次購買的原材料在x天內總的保管費用：
y₁=400×O．03[1+2+3+…+（x-1）]=6x²-6x（元）；   
（2）由上問可知，購買一次原材料的總的費用為6x²-6x+600+1.5×400x元，
∴購買一次原材料平均每天支付的總費用：
y=

1

x

(6x2-6x+600)+1.5×400=

600

x

+6x+594．
∴y≥2

600 x •6x

+594=714．
當且僅當

600

x

=6x，即x=10時，取等號．
∴該廠10天購買一次原材料可以使平均每天支付的總費用y最少，為714元；
（3）按此優(yōu)惠條件，則至少15天購買一次原材料，
又由上問可知，按此優(yōu)惠條件購買一次原材料的總費用為：
6x²-6x+600+0.85×1.5×400x 元，其中x≥15．
∴夠買一次原材料平均每天支付的總費用：
y=

1

x

(6x2-6x+600)+0.85×1.5×400=

600

x

+6x+504 (x≥15)．
∴y′=-

600

x2

+6．
當x≥15時，y′＞0，即y=

600

x

+6x+504在[15，+∞）上為增函數(shù)．
∴當x=15時，y取最小值，為

600

15

+6×15+504=634（元）．
∴按八五折優(yōu)惠，該廠15天購買一次原材料才能使每天支付的總費用y最少，最少值為634元．

點評：考查學生根據(jù)實際問題選擇函數(shù)關系的能力，考查了簡單的建模思想方法，考查了利用基本不等式求最值，訓練了導數(shù)在最值問題中的應用．是中檔題．