Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，△PAB是等邊三角形，側(cè)面PAB⊥底面ABCD．
（Ⅰ）求證：平面PAB⊥平面PBC；
（Ⅱ）求證：BC∥平面PAD；
（Ⅲ）若平面PAD∩平面PBC=直線l，求證：直線l⊥平面PAB．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意可得：BC⊥平面PAB，所以根據(jù)面面垂直的偶的定理可得：平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅱ）根據(jù)題意并且結(jié)合線面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD．
（Ⅲ） 由（II）可得：BC∥平面PAD，并且BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=直線l，所以BC∥l，進(jìn)而得到線面垂直．

解答：證明：（Ⅰ）由題意可得：

平面PAB⊥平面ABCD 平面PAB∩平面ABCD=AB 矩形ABCD?AB⊥BC BC?平面ABCD

，
所以BC⊥平面PAB．
又因?yàn)锽C?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAB．
（Ⅱ）根據(jù)題意可得：

矩形ABCD?BC∥AD BC?平面PAD AD?平面PAD

，
所以根據(jù)線面平行的判定定理可得：BC∥平面PAD．
（Ⅲ） 由（II）可得：BC∥平面PAD，并且BC?平面PBC，平面PAD∩平面PBC=直線l，
所以BC∥l，
又因?yàn)锽C⊥平面PAB，
所以l⊥平面PAB．

點(diǎn)評(píng)：解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握有關(guān)線線、線面、面面垂直與平行的判定定理、性質(zhì)定理．