Question

12．設(shè)數(shù)列{a_n}，a₁=7，a₂=3，a_n+1=3a_n-2，n≥2．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$數(shù)列{c_n}滿足c_n=log₃b_n，求數(shù)列{c_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=3a_n-2，n≥2．可得a_n+1-1=3（a_n-1），利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$，可得b₁=3，b_n=3^n-2．?dāng)?shù)列{c_n}滿足c_n=log₃b_n，c₁=1，n≥2時(shí)，c_n=n-2．c_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（n-2）•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的求和公式即可得出．

解答 解：（1）由a_n+1=3a_n-2，n≥2．可得a_n+1-1=3（a_n-1），
∴數(shù)列{a_n-1}是首項(xiàng)為2，3為公比的等比數(shù)列，
∴a_n-1=2×3^n-2+1，
則a_n=$\left\{\begin{array}{l}{7，n=1}\\{2×{3}^{n-2}+1，n≥2}\end{array}\right.$．
（2）由b_n=$\frac{{a}_{n}-1}{2}$，可得b₁=3，b_n=3^n-2．
數(shù)列{c_n}滿足c_n=log₃b_n，
∴c₁=1，n≥2時(shí)，c_n=n-2．
∴c_nb_n=$\left\{\begin{array}{l}{3，n=1}\\{（n-2）•{3}^{n-2}，n≥2}\end{array}\right.$．
∴數(shù)列{c_nb_n}的前n項(xiàng)和T_n=3+0+1×3¹+2×3²+…+（n-3）•3^n-3+（n-2）•3^n-2．①
3T_n=3²+0+1×3²+2×3³+…+（n-3）•3^n-2+（n-2）•3^n-1．②
①-②：-2T_n=-6+0+3+3²+3³+…+3^n-2-（n-2）•3^n-1=-6+$\frac{3（{3}^{n-2}-1）}{3-1}$-（n-2）•3^n-1，
∴T_n=$\frac{2n-5}{4}×{3}^{n-1}$+$\frac{15}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、“錯(cuò)位相減法”，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．