Question

【題目】提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．

（1）當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；

（2）當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）=xv（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值．（精確到1輛/小時）．

Answer 1

【答案】（1）

（2）3333輛/小時

【解析】

（1）由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v（x）=60；當(dāng)20＜x≤200時，設(shè)v（x）=ax+b

再由已知得，解得

故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為

（2）依題并由（1）可得

當(dāng)0≤x＜20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x=20時，其最大值為60×20=1200

當(dāng)20≤x≤200時，

當(dāng)且僅當(dāng)x=200﹣x，即x=100時，等號成立．

所以，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間（20，200]上取得最大值．

綜上所述，當(dāng)x=100時，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，

即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．

答：（1）函數(shù)v（x）的表達(dá)式

（2）當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．