設(shè)f(x)=-x3+x2+2ax.

(1)若f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間,求a的取值范圍;

(2)當(dāng)0<a<2時(shí),f(x)在[1,4]上的最小值為-,求f(x)在該區(qū)間上的最大值.


解:(1)由f′(x)=-x2+x+2a=-(x-)2++2a,

當(dāng)x∈[,+∞)時(shí),f′(x)的最大值為f′()=+2a.

令+2a>0,得a>-,

所以當(dāng)a>-時(shí),f(x)在(,+∞)上存在單調(diào)遞增區(qū)間.

(2)令f′(x)=0,得兩根x1=,

x2=.

所以f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上單調(diào)遞減,在(x1,x2)上單調(diào)遞增.

當(dāng)0<a<2時(shí),有x1<1<x2<4,

所以f(x)在[1,4]上的最大值為f(x2).

又f(4)-f(1)=-+6a<0,

即f(4)<f(1),

所以f(x)在[1,4]上的最小值為f(4)=8a-=-,

得a=1,x2=2,

從而f(x)在[1,4]上的最大值為f(2)=.


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