Question

14．孝感某地施行禁鞭政策，現(xiàn)有A．B兩監(jiān)控點(diǎn)相距1000米，A處聽到炮竹聲與B處相差2秒，設(shè)聲速為300米/秒，現(xiàn)要找出炮竹燃放點(diǎn)的大概位置，以A，B所在的直線為x軸，以線段AB的中垂線為y軸建立直角坐標(biāo)系，燃放點(diǎn)的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{30{0}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{40{0}^{2}}=1$．

Answer 1

分析 由題意設(shè)燃放點(diǎn)的軌跡上的點(diǎn)M（x，y），由題意可得||MA|-|MB||=300×3=600＜1000，然后利用雙曲線的定義及方程得答案．

解答 解：以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立坐標(biāo)系，
則A（-500，0）、B（500，0），
設(shè)M（x，y）為曲線上任一點(diǎn)，
則||MA|-|MB||=300×2=600＜1000．
∴a=300，c=500．
∴b²=c²-a²=（c+a）（c-a）=400²．
∴燃放點(diǎn)M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{30{0}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{40{0}^{2}}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{30{0}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{40{0}^{2}}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，關(guān)鍵是對(duì)題意的理解，是中檔題．