Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+ax+b（a、b為實(shí)常數(shù)），已知不等式|f（x）|≤|x²+x-2|對(duì)一切x∈R恒成立；定義數(shù)列{a_n}滿足：．
（1）求a、b的值；
（2）求證：  （n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|f（x）|≤|x²+x-2|=|（x+2）（x-1）|知a=1，b=-2，由此可知f（x）；
（2）先驗(yàn)證：當(dāng)n=1時(shí)，1=成立；再考察：當(dāng)n≥2時(shí)利用條件得出：從而最后結(jié)合放縮法即可證得結(jié)論．
解答：解：（1）由|f（x）|≤|（x+2）（x-1）|得f（-2）=0，f（1）=0，
故a=1，b=-2，∴f（x）=x²+x-2；
（2）當(dāng)n=1時(shí)，1=成立
當(dāng)n≥2時(shí)，
∴a_n=（+）²+＞=（+）²，
∴
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
++…++

∴
又a_n=a _n-1++1＜a _n-1+1+
=+a_n-1，（n≥2）
從而a_n+3＜（a _n-1+3）
∴當(dāng)n≥2時(shí)，
a_n+3＜（）²（a _n-2+3）＜…＜（）^n-1（a₁+3）=5（）^n-1
∴a_n≤5（）^n-1-3
所以n∈N^*時(shí)，
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合運(yùn)用，難度較大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．