Question

設正數(shù)x，y滿足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，則x+y的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由題設知x+y+3=xy，再由x²-2xy+y²≥0，得到x²+2xy+y²≥4xy，所以xy≤

(x+y)2

4

，設x+y=a，由此可求出x+y的取值范圍．

解答：解：∵正數(shù)x，y滿足log₂（x+y+3）=log₂x+log₂y，
∴l(xiāng)og₂（x+y+3）=log₂xy，
∴x+y+3=xy，
又x²-2xy+y²≥0，
所以左右加上4xy得到x²+2xy+y²≥4xy，
所以xy≤

(x+y)2

4

，
由x+y+3=xy得到x+y+3≤

(x+y)2

4

，
設x+y=a即4a+12≤a²，
解得a為（-∞，-2]或[6，+∞）．
根據(jù)定義域x，y均大于零所以x+y取值范圍是[6，+∞）．
故答案為：[6，+∞）．

點評：本題考查對數(shù)的運算法則，解題時要認真審題，仔細解答，注意公式的靈活運用．