Question

（1）設不等式x²－2ax+a+2≤0的解集為M，如果M［1，4］，求實數a的取值范圍？

（2）解關于x的不等式＞1(a≠1)。

Answer 1

（1）a的取值范圍是(－1，)（2）當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2)。

解析:

（1）M［1，4］有兩種情況：其一是M=，此時Δ＜0；其二是M≠，此時Δ=0或Δ＞0，分三種情況計算a的取值范圍

設f(x)=x² －2ax+a+2，有Δ=(－2a)²－(4a+2)=4(a²－a－2)

當Δ＜0時，－1＜a＜2，M=［1，4］；

當Δ=0時，a=－1或2；

當a=－1時M={－1}［1，4］；當a=2時，m={2}［1，4］。

當Δ＞0時，a＜－1或a＞2。

設方程f(x)=0的兩根x₁，x₂，且x₁＜x₂，

那么M=［x₁，x₂］，M［1，4］1≤x₁＜x₂≤4，

即，解得2＜a＜，

∴M［1，4］時，a的取值范圍是(－1，)。

（2）原不等式可化為：＞0，

①當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解。

由于，

∴原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞)。

②當a＜1時，原不等式與(x－)(x－2) ＜0同解。

由于，

若a＜0，，解集為(，2)；

若a=0時，，解集為；

若0＜a＜1，，解集為(2，)。

綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2)。