Question

10．已知點(diǎn)A是拋物線C：x²=2px（p＞0）上一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B是以點(diǎn)M（0，10）為圓心，|OA|的長(zhǎng)為半徑的圓與拋物線C的兩個(gè)公共點(diǎn)，且△ABO為等邊三角形，則p的值是$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 由題意，|MA|=|OA|，可得A的縱坐標(biāo)為5，利用△ABO為等邊三角形，求出A的橫坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)A是拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)，即可求出p的值．

解答 解：由題意，|MA|=|OA|，∴A的縱坐標(biāo)為5，
∵△ABO為等邊三角形，
∴A的橫坐標(biāo)為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∵點(diǎn)A是拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點(diǎn)，
∴$\frac{25}{3}$=2p×5
∴p=$\frac{5}{6}$，
故答案為：$\frac{5}{6}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的方程，考查拋物線與圓的綜合，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ)．