Question

如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，∠ADC=∠DCB=90°，AD=1，BC=3，PC=CD=2，PC⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)．
（1）求證：平面PDE⊥平面PAC；
（2）求直線PC與平面PDE所成角的正弦值；
（3）求點(diǎn)B到平面PDE的距離．

Answer 1

分析：分析：（I）由題意，利用三角形相似及角的互余得到線線垂直，再利用線面垂直的判定定理求出線面垂直，進(jìn)而利用面面垂直的判定定理證出面面垂直；
（II連接PG，過點(diǎn)C作CH⊥PG于H點(diǎn)，利用面面垂直及三垂線定理求出直線PC與平面PDE所成角，然后再三角形中解出直線PC與平面PDE所成角的大��；
（III）利用線面垂直的性質(zhì)及直角三角形求出點(diǎn)到面的距離．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)AC與DE交點(diǎn)為G，延長(zhǎng)DE交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，
則△DAE≌△FBE，∴BF=AD=1，∴CF=4，∴tan∠F=

DC

CF

=

1

2

，
又∵tan∠ACD=

AD

DC

=

1

2

，∴∠F=∠ACD，
又∵∠ACD+∠ACF=90°，∴∠F+∠ACF=90°，
∴∠CGF=90°，∴AC⊥DE
又∵PC⊥底面ABCD，∴PC⊥DE，∴DE⊥平面PAC，
∵DE?平面PDE，∴平面PDE⊥平面PAC
（Ⅱ）連接PG，過點(diǎn)C作CH⊥PG于H點(diǎn)，
又由（Ⅰ）知平面PDE⊥平面PAC，且PG是交線，
根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，得CH⊥平面PDE，
∴∠CPG即為直線PC與平面PDE所成角
在Rt△DCA中，CG=

CD2

AC

=

4 5

5

在Rt△PCG中，tan∠CPG=

CG

PC

=

2 5

5

∴sinα=

2

3

，即直線PC與平面PDE所成角
的正弦值為

2

3

（Ⅲ）由于 BF=

1

4

CF，所以可知點(diǎn)B到平面PDE的距離等于點(diǎn)C到平面PDE的距離的

1

4

，即

1

4

CH．在Rt△PCG中，CH=

PC•CG

PC2+CG2

=

2× 4 5 5

22+( 4 5 5 )2

=

4

3

，
從而點(diǎn)B到平面PDE的距離等于

1

3

．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了三角形相似，線線垂直，線面垂直的判定及性質(zhì)，面面垂直的判定及性質(zhì)，還考查了利用三垂線定理求出二面角，點(diǎn)到平面的距離定義及利用反三角函數(shù)表示角的大小，