Question

已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若

AO

=x•

AB

+y•

AC

且2x+10y=5，則cos∠BAC=

 

．

Answer 1

分析：當(dāng)△ABC是銳角三角形時(shí)，取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連結(jié)OD、OE．由三角形外接圓的性質(zhì)得OD⊥AB且OE⊥AC，由此利用直角三角形中三角函數(shù)的定義和數(shù)量積的公式，算出

AO

•

AB

=

1

2

|

AB

|²=18且

AO

•

AC

=

1

2

|

AC

|²=50．然后在等式

AO

=x

AB

+y

AC

的兩邊分別與

AB

、

AC

作數(shù)量積，將得到的等式與2x+10y=5組成方程組聯(lián)解，算出

AB

•

AC

=20，可得cos∠BAC的值．最后由△ABC是以AC為斜邊的直角三角形時(shí)，算出cos∠BAC=

3

5

，即可得出滿足條件的cos∠BAC值．

解答：解：分別取AB、AC的中點(diǎn)D、E，連結(jié)OD、OE，
（i）當(dāng)x≠0時(shí)，
∵O是銳角△ABC的外接圓的圓心，D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，
∴OD⊥AB，OE⊥AC．
由此可得Rt△AOD中，cos∠OAD=

|AD|

|AO|

=

1

2

•

|AB|

|AO|

，
∴

AO

•

AB

=|

AO

|•|

AB

|cos∠OAD=|

AO

|•|

AB

|•

1

2

•

|AB|

|AO|

=

1

2

|

AB

|²=18．
同理可得

AO

•

AC

=

1

2

|

AC

|²=50．
∵

AO

=x•

AB

+y•

AC

，
∴等式的兩邊都與

AB

作數(shù)量積，得

AO

•

AB

=x

AB

²+y

AB

•

AC

，化簡得18=36x+y

AB

•

AC

，…①
同理，等式的兩邊都與

AC

作數(shù)量積，化簡得50=x

AB

•

AC

+100y，…②
又∵根據(jù)題意知2x+10y=5，…③
∴①②③聯(lián)解，可得

AB

•

AC

=20，由此可得

AB • AC

|AB| • |AC|

=

20

6×10

=

1

3

（ii）當(dāng)x=0時(shí)，

AO

=y•

AC

且10y=5，可得

AO

=

1

2

AC

∴△ABC是以AC為斜邊的直角三角形，可得cos∠BAC=

AB

AC

=

3

5

．
故答案為：

1

3

或

3

5

點(diǎn)評(píng)：本題著重考查了三角形外接圓的性質(zhì)、銳角的三角函數(shù)在直角三角形中的定義、向量量的數(shù)量積公式和方程組的解法等知識(shí)，屬于中檔題．