Question

已知函數(shù)．

（1）若為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍；

（2）當(dāng)m=-1時，求函數(shù)的最大值；

（3）當(dāng)，時，證明：．

 

Answer 1

【答案】

（1）m≥0（2）0（3）構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明

【解析】

試題分析：(1)由已知得,

所以                                                                   2分

若f(x)在上是增函數(shù),則,即在恒成立,

而,故m≥0;                                                                   4分

若f(x)在上是減函數(shù),則,即在恒成立,

而,故這樣的m不存在.                                                         5分

經(jīng)檢驗,當(dāng)m≥0時, 對恒成立,

∴當(dāng)m≥0時，f(x)在定義域上是單調(diào)增函數(shù).                                                6分

(2)當(dāng)m =－1時, ,則                       7分

當(dāng)時,,此時f(x)為增函數(shù),

當(dāng)時, ,此時f(x)為減函數(shù)                                               9分

∴f(x)在x = 0時取得最大值,最大值為0.                                                   10分

(3)當(dāng)m = 1時,令,           11分

在[0,1]上總有,即在[0,1]上遞增 ，                                          12分

∴當(dāng)時,,即，             13分

令,由(2)知它在[0,1]上遞減,

所以當(dāng)時,,即 ，             14分

綜上所述,當(dāng)m = 1,且時,.                                  15分

考點：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值等和構(gòu)造函數(shù)證明不等式.

點評：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性質(zhì)的有力工具，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)時，不要漏掉函數(shù)的定義域，求函數(shù)的極值、最值等時最好列表格說明，證明不等式一般要構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證明問題.