Question

任取k∈[-

3

 ， 

3

]，直線y=kx+3與圓（x-2）²+（y-3）²=4相交于M、N兩點，則|MN|≥2

3

的概率為（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  3

  2

• C．

  1

  3

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：由圓的方程找出圓心坐標(biāo)和半徑r，利用點到直線的距離公式表示出圓心到直線y=kx+3的距離d，由r及d，根據(jù)垂徑定理及勾股定理表示出弦MN的長，令MN的長大于等于2

3

，列出關(guān)于k的不等式，求出不等式的解集得到k的范圍，根據(jù)已知k的范圍，利用幾何概型即可求出|MN|≥2

3

的概率．

解答：解：由圓（x-2）²+（y-3）²=4，得到圓心為（2，3），半徑等于2，
圓心到直線y=kx+3的距離d=

|2k|

k2+1

，
由弦長公式得：MN=2

r2-d2

=2

4-( 2k k2+1 )2

≥2

3

，
∴

|2k|

k2+1

≤1，
解得：-

3

3

≤k≤

3

3

，又-

3

≤k≤

3

，
則|MN|≥2

3

的概率為

1

3

．
故選C

點評：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識有：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，點到直線的距離公式，垂徑定理，勾股定理，其他不等式的解法，以及幾何概型，當(dāng)直線與圓相交時，常常根據(jù)垂徑定理由垂直得中點，然后由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．