設雙曲線一支C∶y＝和直線l∶y＝kx．

(1)

k為何值時，l與C有兩個交點？

(2)

若l與C的交點為A、B，求線段AB中點的軌跡方程

(3)

若線段AB上的點Q滿足＝＋，求點Q的軌跡方程．

答案：
解析：

(1)

　　解：由方程組

　　消去x，得(k2－1)y2＋2ky－2k2＝0．　�、�

　　直線l與雙曲線y2＝(x－1)2＋1的上支C有兩個交點，即方程①有兩個相異的正根，

　　∴

　　解得＜k＜1． ∴＜k＜1，l與C有兩個交點．

(2)

　　解：設AB的中點的坐標為(x，y)，則(＜k＜1)

　　消去k，得x2－y2＝x(x＞2)，

　　∴AB中點的軌跡方程為x2－y2－x＝0(x＞2)．

(3)

　　解：設Q(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

　　由＝＋，

　　得＝＋，即y＝＝2k．

　　∴x＝2，y∈(，2)，即為所求點Q的軌跡方程，軌跡是一條無端點的線段．

　　分析：利用圖形的幾何性質(zhì)、方程的韋達定理，通過消參數(shù)的方法求軌跡方程．

　　點評：正確運用曲線y＝的范圍是解決本題的關鍵．由于曲線C的圖象全在x軸上方，故當y取兩個不等正值時方能保證l與C有兩個交點．


練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源：數(shù)學教研室 題型：044

已知雙曲線C：（1－）＋＝（a＞1），設該雙曲線上支的頂點為A，且上支與直線y＝－x相交于P點，一條以A為焦點，M（0，m）為頂點，開口向下的拋物線通過點P，設直線PM的斜率為k，且≤k≤，求實數(shù)a的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：潮陽一中2007屆高三摸底考試理科數(shù)學 題型：044

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點A(0，)為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y＝x對稱．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點，F1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

(3)設直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．S

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科目：高中數(shù)學 來源：2007年潮州市潮陽一中高三考數(shù)學摸底測試(理科數(shù)學) 題型：044

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y＝x對稱．

(1)求雙曲線C的方程；

(2)若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

(3)設直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：潮陽一中2007屆高三摸底考試、文科數(shù)學 題型：044

解答題

已知焦點在x軸上的雙曲線C的兩條漸近線過坐標原點，且兩條漸近線與以點為圓心，1為半徑為圓相切，又知C的一個焦點與A關于直線y＝x對稱．

(1)

求雙曲線C的方程；

(2)

若Q是雙曲線C上的任一點，F(xiàn)1、F2為雙曲線C的左、右兩個焦點，從F1引∠F1QF2的平分線的垂線，垂足為N，試求點N的軌跡方程．

(3)

設直線y＝mx＋1與雙曲線C的左支交于A、B兩點，另一直線L經(jīng)過M(－2，0)及AB的中點，求直線L在y軸上的截距b的取值范圍．

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