Question

15．已知函數(shù)$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{2^x}-1，x≤0\\ f（x-1）+1，x＞0\end{array}\right.$設方程f（x）=x在區(qū)間（0，n]內所有實根的和為s_n．則數(shù)列$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$的前n項和T_n=$\frac{2n}{n+1}$．

Answer 1

分析 通過函數(shù)解析式，結合導數(shù)知識可知f（x）=x在（-1，0]上只有x=0一個實根，當x＞0時，在（k-1，k]上，f（x）=x只有x=k一個實根，進而可知S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，裂項可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并項相加即得結論．

解答 解：由于當x∈（-1，0]時，有（f（x）-x）′=2^xlnx-1＜0，
則f（x）-x在（-1，0]上單調遞減，
故f（x）=x在（-1，0]上只有x=0一個實根；
當x＞0時，f（x）=f（x-1）+1，則在（k-1，k]上，f（x）=x只有x=k一個實根，
故f（x）=x在區(qū)間（0，n]內所有實根為1，2，3，…，n，且S_n=$\frac{n（n+1）}{2}$，
則$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{2}{n（n+1）}$=2（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
故T_n=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{2n}{n+1}$，
故答案為：$\frac{2n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的求和，涉及導數(shù)、等差數(shù)列的求和、裂項相消法求和等知識，注意解題方法的積累，屬于中檔題．