已知函數(shù)f(x)=bx,g(x)=ax2+1,h(x)=ln(1+x2).(a,b∈R)
(1)若M={x|f(x)+g(x)≥0},-1∈M,2∈M,z=3a-b,求z的取值范圍;
(2)設F(x)=f(x)+h(x),且b≤0,試討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性.
分析:(1)原不等式f(x)+g(x)≥0即ax2+bx+1≥0,由-1∈M,2∈M得
a-b+1≥0
4a+2b+1≥0
畫出不等式組所確定的可行域,利用線性規(guī)劃的方法即可求得z的取值范圍;
(2)對F(x)求導數(shù)得F/(x)=
2x
1+x2
+b=
bx2+2x+b
1+x2
,下面對字母b進行分類討論:當b=0時,F(xiàn)(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;當b<0時,F(xiàn)(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;當-1<b<0時,討論函數(shù)F(x)的單調(diào)性即可.
解答:精英家教網(wǎng)解:(1)解:不等式f(x)+g(x)≥0即ax2+bx+1≥0
由-1∈M,2∈M得
a-b+1≥0
4a+2b+1≥0
----------------(2分)
畫出不等式組所確定的可行域如右圖示:作平行線族b=3a-z
可見當a=-0.5,b=0.5時z有最小值,,zmin=-2--------------------(5分)
∴z的取值范圍為z≥-2.----------------------------------------(6分)
(2)∵F(x)=bx+ln(1+x2
F/(x)=
2x
1+x2
+b=
bx2+2x+b
1+x2
----------------(8分)
當b=0時,F/(x)=
2x
1+x2
>0?x>0

∴F(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,在(-∞,0)單調(diào)遞減;-----------------(9分)
當b<0時,由bx2+2x+b=0的判別式△=4-4b2=0,得b=-1∴F′(x)≤0
當b≤-1時,對x∈R恒成立
∴F(x)在(-∞,+∞)上單調(diào)遞減;-----------------------(10分)
當-1<b<0時,由F′(x)>0得:bx2+2x+b>0
解得:
-1+
1-b2
b
<x<
-1-
1-b2
b

由F′(x)<0可得:x>
-1-
1-b2
b
x<
-1+
1-b2
b
-----------------------(12分)
∴當-1<b<0時F(x)在(
-1+
1-b2
b
-1-
1-b2
b
)
上單調(diào)遞增,
(-∞,
-1+
1-b2
b
)
(
-1-
1-b2
b
,+∞)
上單調(diào)遞減.-------------------(14分)
點評:本小題主要考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、簡單線性規(guī)劃的應用、不等式的解法等基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力,考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=b•ax(其中a,b為常量,且a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6),B(3,24).
(1)求f(x);
(2)若不等式(
1
a
x+(
1
b
x-m≥0在x∈(-∞,1]時恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=b•ax(a>0且a≠1),且f(k)=8f(k-3)(k≥4,k∈N*).
(1)若b=8,求f(1)+f(2)+…+f(n)(n∈N*);
(2)若f(1)、16、128依次是某等差數(shù)列的第1項,第k-3項,第k項,試問:是否存在正整數(shù)n,使得f(n)=2(n2-100)成立,若存在,請求出所有的n及b的值,若不存在,請說明理由.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=b•ax(其中a,b為常量,且a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過A(1,
1
6
),B(3,
1
24
)

(1)試確定f(x)的解析式;
(2)若不等式(
1
a
)x+(
1
b
)x
≤m在x∈(-∞,1]時恒成立,求實數(shù)m的最小值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=b(x+1)lnx-x+1,斜率為l的直線與函數(shù)f(x)的圖象相切于(1,0)點.
(Ⅰ)求h(x)=f(x)-xlnx的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)當實數(shù)0<a<1時,討論g(x)=f(x)-(a+x)lnx+
1
2
a
x
2
 
的極值點.

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已知函數(shù)f(x)=b•ax(其中a,b為常量且a>0,a≠1)的圖象經(jīng)過點A(1,6),B(3,24),
(1)試確定f(x);
(2)若不等式(
1
a
) x+(
1
b
) x-m≤0在x∈[0,+∞)上恒成立,求實數(shù)m的取值范圍.

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