Question

已知函數(shù)f（x）=x³+2x²．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≥ax+4xlnx恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明：

4×1+1

4×12

+

4×2+1

4×22

+

4×3+1

4×32

+…+

4×n+1

4×n2

≥ln（n+1）（n∈N^*）．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f'（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求出極值．
（2）f（x）≥ax+4xlnx恒成立，轉(zhuǎn)化為a≤x²+2x-4lnx對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．
（3）利用（2）知x＞0時(shí)，x²+2x-4lnx≥3恒成立．推出

4n+1

4×n2

≥ln（n+1）-lnn，通過累加法證明所證明的不等式即可．

解答： 解：（1）∵f'（x）=3x²+4x=x（3x+4），x（3x+4）＞0
可得x∈（-∞，-

4

3

）和（0，+∞）．
f（x）在（-∞，-

4

3

）和（0，+∞）上遞增，在（-

4

3

，0）上遞減
∴f（x）的極大值為f（-

4

3

）=

32

27

f（x）的極小值為f（0）=0．…（4分）
（2）f（x）≥ax+4xlnx恒成立，
即x³+2x²-4xlnx≥ax對(duì)?x∈（0，+∞）恒成立．
也即a≤x²+2x-4lnx對(duì)x∈（0，+∞）恒成立．
令g（x）=x²+2x-4lnx，只需a≤g（x）_min即可．
g'（x）=2x+2-

4

x

=

2(x-1)(x+2)

x

，x∈（0，+∞），
y=g（x）在（0，1）上遞減，（1，+∞）上遞增
g（x）_min=g（1）=3，∴a≤3．…（9分）
（3）由（2）知x＞0時(shí)，x²+2x-4lnx≥3恒成立．
即（x-1）（x+3）≥4lnx 即

(x-1)(x+3)

4

≥lnx恒成立．
令x=1+

1

n

 得

4n+1

4×n2

≥ln（1+

1

n

），
即

4n+1

4×n2

≥ln（n+1）-lnn
故

4(n-1)+1

4(n-1)2

≥lnn-ln（n-1）
…

4×2+1

4×22

≥ln3-ln2

4×1+1

4×12

≥ln2-ln1
把以上n個(gè)式子相加得

4×1+1

4×12

+

4×2+1

4×22

+

4×3+1

4×32

+…+

4×n+1

4×n2

≥ln（n+1）．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的最值，構(gòu)造法以及單調(diào)性的應(yīng)用，難度比較大，是一個(gè)類型的常用方法．