Question

設f₁（x）=

2

x+1

，fn+1(x)=f1(fn(x))，an=

fn(0)-1

fn(0)+2

，n∈N*
（1）求a₁，a₂，a₃，并求數列{a_n}的通項公式．
（2）已知函數g（x）=

lnx

x

在[3，+∞）上為減函數，設數列{na_n}的前n的和為S_n，求證：S_2n＞

n4-3n-1

9n4

（n＞4）．

Answer 1

分析：（1）利用已知及其遞推式即可得出a₁，a₂，a₃；再利用遞推式即可得出{a_n}是等比數列，進而得到通項公式；
（2）利用“錯位相減法”即可得出S_2n，再利用g(x)=

lnx

x

在[3，+∞）上為減函數，即可證明結論．

解答：解：（1）f1(0)=2，a1=

f1(0)-1

f1(0)+2

=

1

4

，f2(0)=

2

3

，a2=-

1

8

，f3(0)=

6

5

，a3=

1

16

．fn+1(0)=

2

1+fn(0)

⇒an+1=

fn+1(0)-1

fn+1(0)+2

=

2 1+fn(0) -1

2 1+fn(0) +2

=

1-fn(0)

4+2fn(0)

=-

1

2

an
∴{a_n}是首項為

1

4

，公比為-

1

2

的等比數列，
∴an=

1

4

(-

1

2

)n-1=(-

1

2

)n+1．
（2）∵S2n=a1+2a2+…+2na2n，-

1

2

S2n=a2+2a3+…(2n-1)a2n-na2n，
∴S2n=

1

9

(1-

3n+1

4n

)，
∴S2n＞

n4-3n-1

9n4

?n4＜4n?4lnn＜nln4?

lnn

n

＜

ln4

4

，
∵g(x)=

lnx

x

在[3，+∞）上為減函數，
當n＞4時，g(n)＜

ln4

4

．

點評：正確理解遞推式的意義、等比數列的定義及其通項公式及前n項和公式、“錯位相減法”、函數的單調性等是解題的關鍵．