Question

若存在實(shí)數(shù)a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0對于任意的x∈[0，1]都成立，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是

b＜-3+2

2

．

Answer 1

分析：①當(dāng)x=0時(shí)a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立；②當(dāng)0＜x≤1時(shí)f（x）＜0恒成立，再轉(zhuǎn)化為x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立問題，下面利用函數(shù)g（x）=x+

b

x

的最值從而得解．

解答：解：問題等價(jià)于：當(dāng)0≤x≤1時(shí)，x|x-a|+b＜0恒成立，當(dāng)x=0時(shí)a取任意實(shí)數(shù)不等式恒成立
也即x+

b

x

＜a＜x-

b

x

恒成立
令g（x）=x+

b

x

在0＜x≤1上單調(diào)遞增，∴a＞g_max（x）=g（1）=1+b（10分）
令h（x）=x-

b

x

，則h（x）在（0，

-b

]上單調(diào)遞減，[

-b

，+∞）單調(diào)遞增
1°當(dāng)b＜-1時(shí)h（x）=x-

b

x

在0＜x≤1上單調(diào)遞減
∴a＜h_min（x）=h（1）=1-b．∴1+b＜a＜1-b．
2°當(dāng)-1≤b＜2

2

-3時(shí)，h（x）=x-

b

x

≥2

-b

，
∴a＜h_min（x）=2

-b

，∴1+b＜a＜2

-b

．
故可知b＜-3+2

2

時(shí)，存在實(shí)數(shù)a∈R，使得不等式 x|x-a|+b＜0對于任意的x∈[0，1]都成立
故答案為：b＜-3+2

2

．

點(diǎn)評：本題的考點(diǎn)是函數(shù)恒成立問題，主要考查不等式的解法，考查運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想，有一定的難度．