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如圖所示，設拋物線的焦點為，且其準線與軸交于，以，為焦點，離心率的橢圓與拋物線在軸上方的一個交點為P.

（1）當時，求橢圓的方程；

（2）是否存在實數，使得的三條邊的邊長是連續(xù)的自然數？若存在，求出這樣的實數；若不存在，請說明理由.

 

【答案】

（1）；（2）.

【解析】

試題分析：（1）依題意由拋物線方程容易得橢圓的方程，代入既得橢圓方程；（2）假設存在滿足條件的實數，由拋物線和橢圓方程求交點P，使得，求得.

試題解析：（1）拋物線的焦點為,            1分

橢圓的半焦距，離心率，所以橢圓的長半軸長，短半軸長，3分

所以橢圓的方程為,　                            4分

當時，橢圓的方程.                              6分

（2）假設存在滿足條件的實數由，解得, 8分

，，,                    11分

所以的三條邊的邊長分別是，，

所以當時使得的三條邊的邊長是連續(xù)的自然數.                13分

考點：1、拋物線和橢圓的方程及性質;2.存在性問題.

 

練習冊系列答案
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如圖所示，設拋物線C1：y2=4mx（m＞0）的焦點為F2，且其準線與x軸交于F1，以F1，F2為焦點，離心率e=
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的橢圓C2與拋物線C1在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓C2的方程；
（2）是否存在實數m，使得△PF1F2的三條邊的邊長是連續(xù)的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

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（1）當m=1時，求橢圓C2的方程；
（2）是否存在實數m，使得△PF1F2的三條邊的邊長是連續(xù)的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

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