精英家教網(wǎng)已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的離心率為
1
2
，上、下頂點(diǎn)分別為A1，A2，橢圓上的點(diǎn)到上焦點(diǎn)F1的距離的最小值為1．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，F(xiàn)1為焦點(diǎn)的拋物線上的點(diǎn)P（非原點(diǎn)）處的切線與x軸，y軸分別交于Q、R兩點(diǎn)，若
PQ
=λ
PR
，求λ的值．
（3）是否存在過點(diǎn)（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)（A、B不是上、下頂點(diǎn)）且滿足
A1A
•
A1B
=0，若存在，求出實(shí)數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．
分析：（1）橢圓上的點(diǎn)在上頂點(diǎn)時到上焦點(diǎn)F1的距離的最小，進(jìn)而根據(jù)橢圓的離心率求得a和c，進(jìn)而根據(jù)b2=a2-c2，求得b，橢圓的方程可得．
（2）先求得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得拋物線方程，進(jìn)而對拋物線方程進(jìn)行求導(dǎo)，設(shè)出p點(diǎn)坐標(biāo)，則可知該點(diǎn)出的切線的斜率，則切線方程可得．進(jìn)而求出Q和R的坐標(biāo)，進(jìn)而表示出
PQ
和
PR
進(jìn)而求得λ．
（3）假設(shè)存在過點(diǎn)（0，m）的直線l，滿足條件，則l的斜率必存在，進(jìn)而可設(shè)直線方程與橢圓聯(lián)立方程消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）根據(jù)判別式大于0求得m的范圍，根據(jù)韋達(dá)定理可表示出x1+x2和x1x2，進(jìn)而表示出
A1A
和
A1B
根據(jù)
A1A
•
A1B
=0求得m的值，最后進(jìn)行檢驗(yàn)看m是否符合．
解答：解：（1）依題意得：
c
a
=
1
2
a-c=1
，∴
a=2
c=1
，∴b2=a2-c2=3
∴所求的橢圓方程為：
y2
4
+
x2
3
=1．

（2）由（1）知，F(xiàn)1（0，1）則拋物線的方程為x2=4y
即y=
1
4
x2∴y′=
1
2
x
設(shè)P(t，
t2
4
)(t≠0)則該點(diǎn)處的切線的斜率k=y′|x=t=
t
2

∴切線方程為y-
t2
4
=
t
2
(x-t)
令y=0得Q(
t
2
，0)令x=0得R(0，-
t2
4
)
∴
PQ
=(-
t
2
，-
t2
4
)
PR
=(-t，-
t2
2
)
∴
PQ
=
1
2
PR
即λ=
1
2
．

（3）假設(shè)存在過點(diǎn)（0，m）的直線l，滿足條件，則l的斜率必存在，
∴可設(shè)l方程為y=kx+m聯(lián)立
y=kx+m
y2
4
+
x2
3
=1
消去y得（4+3k2）x2+6mkx+3（m2-4）=0，
設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）
則
△=36m2k2-12(4+3k2)(m2-4)＞0①
x1+x2=-
6mk
4+3k2
②
x1x2=
3(m2-4)
4+3k2
③

由①得4+3k2-m2＞0
由②③及直線l的方程得y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+mk（x1+x2）+m2
=
4(m2-3k2)
4+3k2
y1+y2=（kx1+m）+（kx2+m）=k（x1+x2）+2m
=
8m
4+3k2

∵橢圓的上頂點(diǎn)為A1（0，2），
A1A
•
A1B
=0
∴x1x2+（y1-2）（y2-2）=0即x1x2+y1y2-2（y1+y2）+4=0
∴
3(m2-4)
4+3k2
+
4(m2-3k2)
4+3k2
-2×
8m
4+3k2
+4=0
整理得7m2-16m+4=0解得m=
2
7
或m=2
當(dāng)m=2時，直線l的方程為y=kx+2過橢圓的上頂點(diǎn)A1（0，2）與已知矛盾
當(dāng)m=
2
7
時，直線l的方程為y=kx+
2
7
符合題意
∴存在過點(diǎn)（0，m）的直線l，使得l與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，且滿足
A1A
•
A1B
=0，實(shí)數(shù)m的值為
2
7
點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的關(guān)系．考查了學(xué)生對圓錐曲線知識的綜合掌握．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：
y2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，左右兩個焦分別為F1、F2．過右焦點(diǎn)F2且與軸垂直的
直線與橢圓C相交M、N兩點(diǎn)，且|MN|=1．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C的左頂點(diǎn)為A，下頂點(diǎn)為B，動點(diǎn)P滿足
PA
•
AB
=m-4，（m∈R）試求點(diǎn)P的軌跡方程，使點(diǎn)B關(guān)于該軌跡的對稱點(diǎn)落在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
6
3
，過右頂點(diǎn)A 的直線l與橢圓C相交于A、B兩點(diǎn)，且B（-1，-3）．
（1）求橢圓C和直線l的方程；
（2）若圓D：x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與直線lAB相切，求實(shí)數(shù)m的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0）的離心率為
2
2
，且橢圓上一點(diǎn)到兩個焦點(diǎn)的距離之和為2
2
．斜率為k（k≠0）的直線l過橢圓的上焦點(diǎn)且與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，線段PQ的垂直平分線與y軸相交于點(diǎn)M（0，m）．
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）求m的取值范圍．
（3）試用m表示△MPQ的面積S，并求面積S的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的上、下焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在x軸上的兩個端點(diǎn)分別為A，B．且四邊形F1AF2B是邊長為1的正方形．
（1）求橢圓C的離心率及其標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若直線l與y軸交于點(diǎn)P（0，m），與橢圓C交于相異的兩點(diǎn)MN，且
MP
=3
PN
，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓C：
y2
a2
+
x2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率e=
3
2
，短軸長為2．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）為橢圓C上的不同兩點(diǎn)，已知向量
m
=(
x1
b
，
y1
a
)，
n
=(
x2
b
，
y2
a
)，且
m
•
n
=0．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由．

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同步練習(xí)冊答案