Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n．已知a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．
（Ⅰ）求a₂的值；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）對于a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．取n=1即可；
（II）利用a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．及n≥2，a_n=S_n-S_n-1即可得出．

解答：解：（I）由a₁=1，

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*．取n=1，則

2a1

1

=a2-

1

3

-1-

2

3

，解得a₂=4．
（II）∵

2Sn

n

=an+1-

1

3

n2-n-

2

3

，n∈N^*，
∴2Sn=nan+1-

1

3

n3-n2-

2

3

n．
當(dāng)n≥2時，2S_n-1=（n-1）a_n-

1

3

(n-1)3-(n-1)2-

2

3

(n-1)，
兩式相減得

an+1

n+1

-

an

n

=1，
∴數(shù)列{

an

n

}是以

a1

1

=1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴

an

n

=1+(n-1)×1=n，
∴a_n=n²．

點評：本題考查了利用“n≥2時，a_n=S_n-S_n-1”求通項公式、等差數(shù)列的通項公式、可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的數(shù)列的通項公式的求法等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．