Question

已知函數(shù)f（x）=．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（I）求導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）若對任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，則x∈[，2]時，恒成立，即x∈[，2]時，a＞恒成立，確定右邊函數(shù)的最大值即可．
解答：解：（I）當(dāng)a=1時，，∴
由f′（x）＞0得x＜2，f′（x）＜0得x＞2
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，2），單調(diào)遞減區(qū)間為（2，+∞）．
（II）若對任意t∈[，2]，f（t）＞t恒成立，則x∈[，2]時，恒成立，
即x∈[，2]時，a＞恒成立
設(shè)，x∈[，2]，則，x∈[，2]，
設(shè)，∵＞0在x∈[，2]上恒成立
∴h（x）在x∈[，2]上單調(diào)遞增
即在x∈[，2]上單調(diào)遞增
∵，
∴在[，2]有零點m
∴在[，m]上單調(diào)遞減，在（m，2]上單調(diào)遞增
∴，即，
∴a＞．
點評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，正確分離參數(shù)是關(guān)鍵．