Question

已知函數(shù)f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），a＞0且a≠1．
（1）求f（x）的定義域；
（2）判斷f（x）的奇偶性并予以證明；
（3）當(dāng)a＞1時，求使f（x）＞0的x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)可知真數(shù)大于零，進(jìn)而確定x的范圍，求得函數(shù)的定義域．
（2）利用函數(shù)解析式可求得f（-x）=-f（x），進(jìn)而判斷出函數(shù)為奇函數(shù)．
（3）根據(jù)當(dāng)a＞1時，f（x）在定義域{x|-1＜x＜1}內(nèi)是增函數(shù)，可推斷出f（x）＞0，進(jìn)而可知

x+1

1-x

＞1進(jìn)而求得x的范圍．

解答：解：（1）f（x）=log_a（x+1）-log_a（1-x），則

x+1＞0 1-x＞0

解得-1＜x＜1．
故所求定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}．
（2）f（x）為奇函數(shù)
由（1）知f（x）的定義域?yàn)閧x|-1＜x＜1}，
且f（-x）=log_a（-x+1）-log_a（1+x）=-[log_a（x+1）-log_a（1-x）]=-f（x），
故f（x）為奇函數(shù)．
（3）因?yàn)楫?dāng)a＞1時，f（x）在定義域{x|-1＜x＜1}內(nèi)是增函數(shù)，
所以f(x)＞0?

x+1

1-x

＞1．
解得0＜x＜1．
所以使f（x）＞0的x的取值范圍是{x|0＜x＜1}．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)的定義域，奇偶性的判斷和單調(diào)性的應(yīng)用．要求考生對函數(shù)的基本性質(zhì)熟練掌握．