Question

已知函數(shù)f（x）=ln（2ax+1）+

x3

3

-x²-2ax（a∈R）．
（1）當(dāng)a=

1

2

時(shí)，求函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）把a(bǔ)=

1

2

代入函數(shù)f（x），再對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，從而求出函數(shù)f（x）的極值；
（2）若y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，可以對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f′（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，從而求解；

解答：解：（1）a=

1

2

，函數(shù)f(x)=ln(2ax+1)+

x3

3

-x2-2ax(a∈R)．
∴f（x）=ln（x+1）+

x3

3

-x²-x，
∴f′（x）=

1

x+1

+x²-2x-1，可以得f′（x）=0，可得
x（x²-x-3）=0，解得x=0，x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

，
∴函數(shù)f（x）有兩個(gè)極小值點(diǎn)：x₁=

1+ 13

2

，x₂=

1- 13

2

，
函數(shù)f（x）有一個(gè)極小值點(diǎn)：x=0；
（2）y=f（x）在[3，+∞）上為增函數(shù)，
可以令f′（x）=

2a

2ax+1

+x²-2x-2a≥0在x≥3上恒大于0，
∴f′（x）=

-2a×2a

(2ax+1)2

+2x-2=

-4a2+2(x-1)(2ax+1)2

(2ax+1)2

，
∴當(dāng)x≥3時(shí)，可得f″（x）＞0，
f′（x）在[3，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥f′（3）≥0，
∴

2a

6a+1

+9-6-2a≥0，
解得，

3- 13

4

≤a≤

3+ 13

4

；
又由2ax+1＞0且x≥3，可得a＞0，
故a的取值范圍是0＜a≤

3+ 13

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，以及利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，綜合性比較強(qiáng)；