Question

已知數(shù)列{a_n}，{b_n}滿足：a₁=，a_n+b_n=1，b_n+1=，
(Ⅰ)求b₁，b₂，b₃，b₄；
(Ⅱ)求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
(Ⅲ)設(shè)S_n=a₁a₂+a₂a₃+a₃a₄+…+a_na_n+1，求實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，4aS_n＜b_n恒成立．

Answer 1

解：(Ⅰ)，
，
∴。
(Ⅱ)，
∴，
∴數(shù)列是以-4為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴。
(Ⅲ)，
∴
，
∴，
由條件可知(a-1)n²+(3a-6)n-8＜0恒成立即可滿足條件，
設(shè)f(n)=(a-1)n²+(3a-6)n-8，
當(dāng)a=1時(shí)，f(n)=-3n-8＜0恒成立；
當(dāng)a＞1時(shí)，由二次函數(shù)的性質(zhì)知不可能成立；
當(dāng)a＜1時(shí)，對(duì)稱軸，
f(n)在[1，+∞)為單調(diào)遞減函數(shù)，
f(1)=(a-1)n²+(3a-6)n-8=(a-1)+(3a-6)-8=4a-15＜0，
∴，
∴a＜1時(shí)，4aS_n＜b恒成立；
綜上知：a≤1時(shí)，4aS_n＜b恒成立．