Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3+bx2+cx(b，c∈R)，且函數(shù)f(x)在區(qū)間（-1，1）上單調遞增，在區(qū)間（1，3）上單調遞減．
（I）若b=-2，求c的值；
（II）當x∈[-1，3]時，函數(shù)f（x）的切線的斜率最小值是-1，求b、c的值．

Answer 1

分析：（I）由單調遞區(qū)間的端點可得：1是極值點，從而1是導函數(shù)的一個零點，建立等式關系，求出參數(shù)c；
（II）討論對稱軸-b與區(qū)間[-1，3]的位置關系，從而研究k=f'（x）的最小值，使k_min=-1，求出滿足條件的b和c即可．

解答：解：（I）由已知可得f'（1）=0，又f'（x）=x²+2bx+c
所以f'（1）=1+2b+c=0，將b=-2代入，可得c=3；
（II）令k=f'（x），則
1）若b≤-1時，k_min=f'（-1）=1-2b+c=-1
又1+2b+c=0，得b=

1

4

（舍）
2）若-1≤-b≤3，則k_min=f'（-b）=b²-2b²+c=-1
又1+2b+c=0，得b=-2，c=3或b=0，c=-1（舍）
3）若1-b＞3，則k_min=f'（3）=9+6b+c=-1
又1+2b+c=0，得b=-

9

4

（舍）
綜上所述，b=-2，c=3

點評：本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性和極值，同時考查了二次函數(shù)討論對稱軸與定義域的位置關系研究函數(shù)的最值，屬于基礎題．