Question

（2009•武昌區(qū)模擬）已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f^′（x）=-3x²+6x+9．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，令導(dǎo)數(shù)f′（x）＞0（或＜0），解不等式即可求出其單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，設(shè)出函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d，求導(dǎo)，利用對(duì)應(yīng)系數(shù)相等，求得a=-1，b=3，c=9，根據(jù)（1）可知函數(shù)在區(qū)間[-2，2]上的單調(diào)性，從而根據(jù)其最大值求出d的值，求出其最小值，

解答：解：（1）由f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x+1）（x-3）＜0，得x＜-1或x＞3，
由f′（x）=-3（x+1）（x-3）＞0，得-1＜x＜3，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-∞，-1）和（3，+∞），單調(diào)增區(qū)間為（-1，3）；
（2）設(shè)f（x）=ax³+bx²+cx+d，則f′（x）=3ax²+2bx+c，
∴3a=-3，2b=6，c=9，
即a=-1，b=3，c=9．
故f（x）=-x³+3x²+9x+d，
由（1）知f（x）在（-2，-1）上單調(diào)遞減，在（-1，2）上單調(diào)遞增，
又f（2）=22+d＞f（-2）=2-d，
∴f（x）_max=22+d=20，
∴d=-2，
∴f（x）=-x³+3x²+9x-2，
∴f（x）在區(qū)間[-2，2]上的最小值為f（-1）=-7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和閉區(qū)間上函數(shù)的最值問題，根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的解析式是解題的關(guān)鍵，增加了題目的難度，考查運(yùn)算能力和逆向思維能力，屬中檔題．