Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a₂=2，a₃=3，a₄=4，a₅=5，且當n≥5時，a_n+1=a₁a₂…a_n-1，若數(shù)列{b_n}滿足對任意n∈N^*，有b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，則b₅=    ；當n≥5時，b_n=    ．

Answer 1

【答案】分析：在b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²中，令n=5代入數(shù)據(jù)計算即可求出b₅．由b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²中構造出b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²，兩式相減，并化簡整理，可以判斷出當n≥5時，數(shù)列{b_n}的各項組成等差數(shù)列．利用等差數(shù)列通項公式求解即可．
解答：解：由已知，b₅=a₁a₂…a₅-a₁²-a₂²-…-a₅²
=1×2×3×4×5-（1²+2²+3²+4²+5²）
=120-55
=65．
當n≥5時，由a_n+1=a₁a₂…a_n-1，移向得出a₁a₂…a_n-1=a_n+1+1  ①
∵b_n=a₁a₂…a_n-a₁²-a₂²-…-a_n²，②
∴b_n+1=a₁a₂…a_na_n+1-a₁²-a₂²-…-a_n²-a_n+1²   ③
^_③-②得b_n+1-b_n=a₁a₂…a_na_n+1-a₁a₂…a_n-a_n+1²   
=a₁a₂…a_n（a_n+1-1）-a_n+1²    （將①式代入）
=（a_n+1+1）（a_n+1-1）-a_n+1²=a_n+1²-1-a_n+1²   
=-1
∴當n≥5時，數(shù)列{b_n}的各項組成等差數(shù)列，
∴b_n=b₅+（n-5）×（-1）=65-（n-5）=70-n．
故答案為：65   70-n
點評：本題考查等差關系的判定、通項公式．考查轉化、變形構造、計算能力．