Question

已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求f（x）在區(qū)間上的最值；
（2）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

解：（1）當(dāng)時(shí)，
∴
∵x＞0，∴x+1＞0
∴令f′（x）＞0，即，∵x＞0，x+1＞0，∴0＜x＜1；
令f′（x）＜0，即，∵x＞0，x+1＞0，∴x＞1，
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為（0，1），遞減區(qū)間為（1，+∞）
∵x∈
∴函數(shù)的遞增區(qū)間為[，1），遞減區(qū)間為（1，e]
∴f（x）在區(qū)間上的最大值為f（1）=-，最小值為f（e）=；
（2）∵函數(shù)，
∴（x＞0）
當(dāng)m≥0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)-1＜m＜0時(shí)，，
令f′（x）＞0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴0＜x＜；
令f′（x）＜0，∵x＞0，-1＜m＜0，∴x＞；
∴函數(shù)在（0，）上單調(diào)遞增，在（，+∞）上單調(diào)減；
當(dāng)m≤-1時(shí)，f′（x）≤0，函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，即可求最值；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，對(duì)m分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，可得函數(shù)f（x）的單調(diào)性．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的最值，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．