Question

某工廠為擴(kuò)大生產(chǎn)規(guī)模，2014年初新購(gòu)置了一條高性能的生產(chǎn)線，該生產(chǎn)線在使用過(guò)程中的維護(hù)費(fèi)用會(huì)逐年增加，第1年的維護(hù)費(fèi)用是4萬(wàn)元，從第2年到第7年，每年的維護(hù)費(fèi)用均比上年增加2萬(wàn)元，從第8年開(kāi)始，每年的維護(hù)費(fèi)用比上年增加25%．
（1）設(shè)該生產(chǎn)線第n年的維護(hù)費(fèi)用為a_n，求a_n的表達(dá)式；
（2）設(shè)該生產(chǎn)線前n年維護(hù)費(fèi)用總和為S_n，求該生產(chǎn)線前n年平均維護(hù)費(fèi)用的表達(dá)式．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與函數(shù)的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)題意可得當(dāng)n≤7時(shí)，{a_n}組成以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)n＞7時(shí)，{a_n}組成以a₇=16為首項(xiàng)，1+25%=

5

4

為公差的等比數(shù)列，從而可求a_n
（2）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合等差（等比）數(shù)列的求和公式，由此即可求得該生產(chǎn)線前n年維護(hù)費(fèi)．

解答： 解：（1）由題意知，當(dāng)n≤7時(shí)，{a_n}組成以4為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
∴a_n=2n+2，
當(dāng)n＞7時(shí)，{a_n}組成以a₇=16為首項(xiàng)，1+25%=

5

4

為公差的等比數(shù)列，
∴a_n=16×（

5

4

）^n-7，
∴a_n=

16•( 5 4 )n-7，n≥8 2n+2，n≤7

；
（2）當(dāng)n≤7時(shí)，S_n=4n+

n(n-1)

2

×2=n²+3n，
當(dāng)n＞7時(shí)，S_n=70+16×

5

4

×

1-( 5 4 )n-7

1- 5 4

=80×（

5

4

）^n-7-10．
∴該生產(chǎn)線前n年維護(hù)費(fèi)為S_n=

n2+3n，n≤7 80( 5 4 )n-7-10，n≥8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的應(yīng)用，考查分段函數(shù)，解題的關(guān)鍵是構(gòu)建等差數(shù)列、等比數(shù)列模型，屬于中檔題．