Question

已知函數(shù)f(x)＝－x³＋ax²＋bx＋c在(－∞，0)上是減函數(shù)，在(0，1)上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在R上有三個零點(diǎn)，且1是其中一個零點(diǎn)．

(1)求b的值；

(2)求f(2)的取值范圍；

(3)試探究直線y＝x－1與函數(shù)y＝f(x)的圖像交點(diǎn)個數(shù)的情況，并說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)解：∵，∴． 　　∵在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)， 　　∴當(dāng)時，取到極小值，即． 　　∴． 　　(2)解：由(1)知，， 　　∵1是函數(shù)的一個零點(diǎn)，即，∴． 　　∵的兩個根分別為，． 　　∵在上是增函數(shù)，且函數(shù)在上有三個零點(diǎn)， 　　∴，即． 　　∴． 　　故的取值范圍為． 　　(3)解：由(2)知，且． 　　要討論直線與函數(shù)圖像的交點(diǎn)個數(shù)情況， 　　即求方程組解的個數(shù)情況． 　　由， 　　得． 　　即． 　　即． 　　∴或． 　　由方程， 　　得． 　　∵， 　　若，即，解得．此時方程(*)無實(shí)數(shù)解． 　　若，即，解得．此時方程(*)有一個實(shí)數(shù)解．　　 　　若，即，解得．此時方程(*)有兩個實(shí)數(shù)解，分別為，． 　　且當(dāng)時，，． 　　綜上所述，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖像有一個交點(diǎn)． 　　當(dāng)或時，直線與函數(shù)的圖像有二個交點(diǎn)． 　　當(dāng)且時，直線與函數(shù)的圖像有三個交點(diǎn)．

提示：

本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、方程等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、分類與討論的數(shù)學(xué)思想方法，以及運(yùn)算求解能力