Question

已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+

π

6

)+sin(ωx-

π

6

)-2cos2

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0）
（I）求函數(shù)f（x）的值域；
（II）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）利用兩角和與差的正弦函數(shù)、二倍角公式化簡不等式，然后利用兩角和化簡函數(shù)為2sin(ωx-

π

6

)-1，解好正弦函數(shù)的有界性，求函數(shù)f（x）的值域；
（II）利用函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=-1的兩個相鄰交點間的距離為

π

2

，求出周期，求出ω，利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，求函出數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間．

解答：解：（I）解：f(x)=

3

2

sinωx+

1

2

cosωx+

3

2

sinωx-

1

2

cosωx-(cosωx+1)
=2(

3

2

sinωx-

1

2

cosωx)-1
=2sin(ωx-

π

6

)-1．
由-1≤sin(ωx-

π

6

)≤1，得-3≤2sin(ωx-

π

6

)-1≤1，
可知函數(shù)f（x）的值域為[-3，1]．
（II）解：由題設(shè)條件及三角函數(shù)圖象和性質(zhì)可知，y=f（x）的周期為π，
又由ω＞0，得

2π

ω

=π，即得ω=2．
于是有f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1，
再由2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)，
解得kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

(k∈Z)
所以y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

6

，kπ+

π

3

]（k∈Z）

點評：本小題主要考查三角函數(shù)公式，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)等基礎(chǔ)知識，考查綜合運用三角函數(shù)有關(guān)知識的能力，�？碱}．