Question

如圖，在正比例函數(shù)y=kx（k＞0）圖象上有一列點P₁，P₂，P₃，P₄，…，P_n，…．已知n≥2時，．設(shè)線段P₁P₂，P₂P₃，P₃P₄，…，P_nP_n+1的長分別為a₁，a₂，a₃，…，a_n，且a₁=1．
（1）求出a₂，a₃的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）設(shè)點M_n（n，a_n）（n≥2，n∈N），證明：這些點中不可能同時有兩個點在正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)條件結(jié)合向量和的運算，知，從而得出數(shù)列{a_n}的遞推關(guān)系式，即可得出a₂，a₃的值；
（2）將（1）中的a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，a_n=na_n+1等關(guān)系式相乘即可得數(shù)列{a_n}的通項公式；
（3）對于結(jié)論是否定形式的命題，往往反證法證明．
解答：解：（1）由得，
∴∴，
即a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，a_n=na_n+1
∴a₂=1，a₃=
（2）將（1）中的a₁=（2-1）a₂，a₂=（3-1）a₃，a₃=（4-1）a₄．…，
a_n=na_n+1等關(guān)系式相乘得a₁=1•2•3•4•…•n•a_n+1，
即∴
（3）設(shè)點M_m（m，a_m），N_n（n，a_n）（m≠n）在正比例函數(shù)y=kx（k＞0），
則a_m=km，a_n=kn，即，
∴，，從而1•2•3•…•m=1•2•3•…•n
這與m≠n矛盾，故不可能同時有兩個點在正比例函數(shù)y=kx（k＞0）的圖象上．
點評：本題考查數(shù)列現(xiàn)解析幾何的綜合運用，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地應用反證法．