Question

已知函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，當時，有極值，且極大值為2，.

（1）求函數(shù)的解析式；

（2）有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍；

（3）設函數(shù)，若存在實數(shù)，使得，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）先通過函數(shù)的導函數(shù)是二次函數(shù)，且當時，有極值將函數(shù)的導函數(shù)設出來：.從而可設，其中為常數(shù).再由極大值為2及將求出.注意，極大值為2，即或時，函數(shù)值為2.結(jié)合正好可以將其中一種情況舍去,從而解出,于是得到函數(shù)的解析式；（2）由，列出表格，分析函數(shù)的單調(diào)性和極值.有兩個零點，即方程有兩個根，而，即方程與方程各只有一個解.結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值，發(fā)現(xiàn)方程只有當或時才只有一個解.所以有或或，從而解得或；（3）由于存在實數(shù)，使得，也就是說，否則就不存在實數(shù)，使得.因此本題轉(zhuǎn)化為求在上的最大值與最小值.根據(jù)條件可得，所以其導函數(shù).然后討論的范圍以得到在上單調(diào)性，從而找出最值.再通過不等式得到的取值范圍.注意當時比較麻煩，在上先減后增，，而最大值無法確定是中的哪一個，所以我們用來表示不等式.

試題解析：（1）由條件，可設，則，其中為常數(shù).

因為極大值為2.所以或，即或.由得①.所以，即②.由①②可得，.所以.

（2）由（1），得，即.列表：

		-1	（-1,0）	1
	-	0	+	0	-
		極小值-2		極大值2

又因為函數(shù)有兩個根，即方程有兩個根，而，

所以或或，解得或.

所以若函數(shù)有兩個零點，實數(shù)的取值范圍為.

（3）由于存在實數(shù)，使得，則問題等價于.

，

，.在上，

當時，，在上遞減，

，即，得.

當時，，在上遞增，

，即，得.

當時，在上，遞減；在上，遞增.

,即.（*）

，在上遞減，.

，而，不等式（*）無解.

綜上所述，存在，使得命題成立.

考點：1.函數(shù)的極值、最值；2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3.常見函數(shù)的導數(shù)及導數(shù)的運算法則.