Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹（n∈N*）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)bn=log

an

n+1

2，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，若存在整數(shù)m，使對任意n∈N*且n≥2，都有B3n-Bn＞

m

20

成立，求m的最大值；

Answer 1

（1）由S_n=2a_n-2ⁿ⁺¹，得S_n-1=2a_n-1-2ⁿ（n≥2）．
兩式相減，得a_n=2a_n-2a_n-1-2ⁿ，即a_n-2a_n-1=2ⁿ（n≥2）．
于是

an

2n

-

an-1

2n-1

=1，所以數(shù)列{

an

2n

}是公差為1的等差數(shù)列．
又S₁=2a₁-2²，所以a₁=4．
所以

an

2n

=2+(n-1)=n+1，
故a_n=（n+1）•2ⁿ．

（2）因?yàn)?span mathtag="math" >bn=log

an

n+1

2=log2n2=

1

n

，則B3n-Bn=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

．
令f(n)=

1

n+1

+

1

n+2

++

1

3n

，則f(n+1)=

1

n+2

+

1

n+3

++

1

3n

+

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

．
所以f(n+1)-f(n)=

1

3n+1

+

1

3n+2

+

1

3n+3

-

1

n+1

=

1

3n+1

+

1

3n+2

-

2

3n+3

＞

1

3n+3

+

1

3n+3

-

2

3n+3

=0．
即f（n+1）＞f（n），所以數(shù)列{f（n）}為遞增數(shù)列．
所以當(dāng)n≥2時(shí)，f（n）的最小值為f(2)=

1

3

+

1

4

+

1

5

+

1

6

=

19

20

．
據(jù)題意，

m

20

＜

19

20

，即m＜19．又m為整數(shù)，
故m的最大值為18．