Question

已知函數(shù)f（x）=2cos²x+sinx
（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的定義為R，求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上是不是單調(diào)函數(shù)？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x）=2cos²x+sinx=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

及-1≤sinx≤1，即可求得函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）（證法一）：f′（x）=-4cosxsinx+cosx=cosx（1-4sinx），設(shè)α=arcsin

1

4

，易證當(dāng)x∈（0，α）時，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（α，

π

2

）時，f′（x）＜0，從而知f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)；
（證法二：利用f（0）=f（

π

6

）=2，且[0，

π

6

]?[0，

π

2

]，即可判定f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=-2sin²x+sinx+2=-2(sinx-

1

4

)2+

17

8

，
∴當(dāng)sinx=-1時，f（x）取得最小值-1，
當(dāng)sinx=

1

4

時，f（x）取得最大值

17

8

，
∴函數(shù)f（x）的值域為[-1，

17

8

]；
（Ⅱ）f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)；
（證法一）：∵f′（x）=-4cosxsinx+cosx=cosx（1-4sinx），
設(shè)α=arcsin

1

4

，可知：當(dāng)x∈（0，α）時，f′（x）＞0，
∴f（x）在區(qū)間（0，arcsin

1

4

）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（α，

π

2

）時，f′（x）＜0，
∴f（x）在區(qū)間（α，

π

2

）上單調(diào)遞減．
∴f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)．
（證法二：∵f（0）=f（

π

6

）=2，且[0，

π

6

]?[0，

π

2

]，
∴f（x）在區(qū)間[0，

π

2

]上不是單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，考查三角函數(shù)的最值，突出考查三角函數(shù)單調(diào)性的判斷，考查創(chuàng)新思維與論證能力，屬于中檔題．