Question

已知橢圓兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，P是橢圓在第一象限弧上一點(diǎn)，并滿足=1，過(guò)P作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線PA、PB分別交橢圓于A、B兩點(diǎn)．
（1）求P點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）求直線AB的斜率；
（3）求△PAB面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出P的坐標(biāo)，則可分別表示出進(jìn)而利用=1求得x和y的關(guān)系，同時(shí)根據(jù)2x²+y²=4求得x和y即P的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出AP的方程，與橢圓方程聯(lián)立根據(jù)x_P=1，表示出x_A和y_A，同理表示出點(diǎn)B的坐標(biāo)，進(jìn)而求得AB的斜率．
（3）設(shè)出AB的方程與橢圓的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而求得x₁-x₂，最后利用弦長(zhǎng)公式求得AB的長(zhǎng)．利用三角形面積公式求得答案．
解答：解：（1），，設(shè)P（x，y）
則，

又2x²+y²=4，x，y＞0，∴，即所求
（2）設(shè)l_AP：聯(lián)立
得：
∵x_P=1，∴，
則
同理，
∴
（3）設(shè)l_AB：，聯(lián)立，
得：，∴
∴|AB|=
而
∴S=
當(dāng)且僅當(dāng)m=±2時(shí)等號(hào)成立．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．