Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+3x（x∈R）的圖象為曲線C．
（1）求曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；
（2）若曲線C上存在兩點處的切線互相垂直，求其中一條切線與曲線C的切點的橫坐標取值范圍；
（3）試問：是否存在一條直線與曲線C同時切于兩個不同點？如果存在，求出符合條件的所有直線方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求導(dǎo)函數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)函數(shù)求出其取值范圍，從而可求出曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍；
（2）根據(jù)（1）可知k與-的取值范圍，從而可求出k的取值范圍，然后解不等式可求出曲線C的切點的橫坐標取值范圍；
（3）設(shè)存在過點A（x₁，y₁）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x₂，y₂），x₁≠x₂，分別求出切線，由于兩切線是同一直線，建立等式關(guān)系，根據(jù)方程的解的情況可得是符合條件的所有直線方程．
解答：解：（1）f'（x）=x²-4x+3，則f′（x）=（x-2）²-1≥-1，
即曲線C上任意一點處的切線的斜率的取值范圍是[-1，+∞）；------------（4分）
（2）由（1）可知，---------------------------------------------------------（6分）
解得-1≤k＜0或k≥1，由-1≤x²-4x+3＜0或x²-4x+3≥1
得：x∈（-∞，2-]∪（1，3）∪[2+，+∞）；-------------------------------（9分）
（3）設(shè)存在過點A（x₁，y₁）的切線曲線C同時切于兩點，另一切點為B（x₂，y₂），x₁≠x₂，
則切線方程是：y-（-2+3x₁）=（-4x₁+3）（x-x₁），
化簡得：y=（-4x₁+3）x+（-+2），--------------------------（11分）
而過B（x₂，y₂）的切線方程是y=（-4x₁+3）x+（-+2），--------------------------（，
由于兩切線是同一直線，
則有：-4x₁+3=-4x₁+3，得x₁+x₂=4，----------------------（13分）
又由-+2=-+2，
即-（x₁-x₂）（+x₁x₂+）+（x₁-x₂）（x₁+x₂）=0
-（+x₁x₂+）+4=0，即x₁（x₁+x₂）+-12=0
即（4-x₂）×4+-12=0，-4x₂+4=0
得x₂=2，但當(dāng)x₂=2時，由x₁+x₂=4得x₁=2，這與x₁≠x₂矛盾．
所以不存在一條直線與曲線C同時切于兩點．----------------------------------（16分）
點評：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程，以及互相垂直的直線的斜率關(guān)系，同時考查了運算能力，屬于中檔題．