Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，PB⊥BC，PD⊥CD，且PA=2，E點滿足

PE

=

1

3

PD

．
（1）證明：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角E-AC-D的余弦值．
（3）在線段BC上是否存在點F，使得PF∥平面EAC？若存在，確定點F的位置，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）要證明：PA⊥平面ABCD，需要證明PA⊥BC，PA⊥CD即可．
（2）求二面角E-AC-D的余弦值，利用三垂線定理，EO∥PA，過點O作OH⊥AC交AC于點H，連接EH，作出∠EHO為二面角E-AC-D的平面角，然后解直角三角形．
（3）F為BC中點時，使得PF∥平面EAC，利用三角形相似證明PF∥ES即可．

解答：證明：（1）

AB⊥BC PB⊥BC

?BC⊥平面PAB?BC⊥PA，
同理CD⊥PA，又CD∩BC=C，所以PA⊥平面ABCD；

（2）在AD上取一點O，使AO=

1

3

AD，連接EO，則EO∥PA，
所以EO⊥平面ABCD．
過點O作OH⊥AC交AC于點H，連接EH，則EH⊥AC
所以∠EHO為二面角E-AC-D的平面角．
在△PAD中，EO=

2

3

AP=

4

3

；在Rt△AHO中，∠HAO=45°，
所以HO=AOsin45°=

2

3

tan∠EHO=2

2

cos∠EHO=

1

3

所以所求二面角E-AC-D的余弦值為

1

3

；

（3）當F為BC中點時，PF∥平面EAC，理由如下：設AC，F(xiàn)D交于點S
因為AD∥FC所以

FS

SD

=

FC

AD

=

1

2

又因為

PE

ED

=

1

2

所以PF∥ES
因為PF?平面EAC，ES?平面EAC，所以PF∥平面EAC．

點評：本題考查直線與平面垂直或平行的判定，棱錐的體積，考查學生空間想象能力，邏輯思維能力，是中檔題．