Question

已知函數(shù)，其中a＞0．設(shè)它們的圖象有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線相同．
（1）試用a表示b；
（2）求F（x）=f（x）-g（x）的極值；
（3）求b的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)，求導(dǎo)函數(shù)，利用在該點(diǎn)處的切線相同，即可用a表示b；
（2）求導(dǎo)函數(shù)，確定F（x）的單調(diào)性，從而可求函數(shù)的極值；
（3）由（1）知，令h（t）=（t＞0），求導(dǎo)數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而可得b的最大值
解答：解：（1）設(shè)公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y），
求導(dǎo)函數(shù)，則f（x）=g（x），f′（x）=g′（x）
∴，
∴x=a或x=-3a（舍去）
∴b=；
（2）F（x）=f（x）-g（x）=
∴F′（x）=
∴F（x）在（0，a）上為減函數(shù)，在（a，+∞）上為增函數(shù)
∴x=a時(shí)，F(xiàn)（x）有極小值0，無(wú)極大值；
（3）由（1）知，令h（t）=（t＞0），則h′（t）=2t（1-3lnt）
當(dāng)t（1-3lnt）＞0，即0＜t＜時(shí)，h′（t）＞0；當(dāng)t（1-3lnt）＜0，即t＞時(shí)，h′（t）＜0，
∴h（t）在（0，）上為增函數(shù)，在（，+∞）上為減函數(shù)
∴h（t）在（0，+∞）上的最大值即為最大值h（）=
即b的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查函數(shù)的極值與最值，正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性是關(guān)鍵．