設(shè)函數(shù)f(x)＝(x＋a)·lnx－x＋a.

(1)設(shè)g(x)＝f′(x)，求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(2)若a≥，試研究函數(shù)f(x)＝(x＋a)lnx－x＋a的零點(diǎn)個數(shù).

(1)∵g(x)＝f′(x)＝＋lnx(x>0)，∴g′(x)＝－＋＝，

(i)當(dāng)a≤0時，g′(x)>0，則g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，故g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞).

(ii)當(dāng)a>0時，

①當(dāng)x>a時，g′(x)>0，則g(x)在(a，＋∞)上單調(diào)遞增.

②當(dāng)0<x<a時，g′(x)<0，則g(x)在(0，a)上單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)a≤0時g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(0，＋∞)；

當(dāng)a>0時g(x)的單調(diào)增區(qū)間是(a，＋∞)，減區(qū)間是(0，a).

(2)由題(1)知，g(x)在x＝a時取到最小值，且為g(a)＝＋lna＝1＋lna.

∵a≥，∴l(xiāng)na≥－1，∴g(a)≥0，∴f′(x)≥g(a)≥0.

f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，

∵f(e)＝(e＋a)lne－e＋a＝2a>0，

f()＝(＋a)ln－＋a＝－<0，

∴f(x)在(，e)內(nèi)有零點(diǎn)，故函數(shù)f(x)＝(x＋a)lnx－x＋a的零點(diǎn)個數(shù)為1.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2002年全國各省市高考模擬試題匯編 題型：044

設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－1)(a＞0，且a≠1)，當(dāng)點(diǎn)P(x，y)是函數(shù)y＝f(x)圖象上的點(diǎn)時，點(diǎn)Q(3x，)是函數(shù)y＝g(x)圖象上的點(diǎn)．

　　

(Ⅰ)寫出函數(shù)y＝g(x)的解析式；

(Ⅱ)求不等式g(x)≤f(x)的解集．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣州市2008屆高中教材變式題2：二次函數(shù) 題型：022

設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，給出下列4個命題：

①當(dāng)c＝0時，y＝f(x)是奇函數(shù)；

②當(dāng)b＝0，c＞0時，方程f(x)＝0只有一個實(shí)根；

③y＝f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0，c)對稱；

④方程f(x)＝0至多有兩個實(shí)根．

上述命題中正確的序號為________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：天津市耀華中學(xué)2012屆高三寒假驗收考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：013

設(shè)函數(shù)f(x)＝x|x|＋bx＋c，則下列命題中正確命題的序號有

①當(dāng)b＞0時，函數(shù)f(x)在R上是單調(diào)增函數(shù)；

②當(dāng)b＜0時，函數(shù)f(x)在R上有最小值；

③函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于(0，c)對稱；

④方程f(x)＝0可能有三個實(shí)數(shù)根．

[　　]

A．①③

B．①④

C．①②④

D．①③④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：廣東省云浮羅定中學(xué)2012屆高三11月月考數(shù)學(xué)理科試題 題型：044

已知二次函數(shù)y＝g(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O(0，0)、A(m，0)與點(diǎn)P(m＋1，m＋1)，設(shè)函數(shù)f(x)＝(x－n)g(x)在x＝a和x＝b處取到極值，其中m＞n＞0，b＜a．

(1)求g(x)的二次項系數(shù)k的值；

(2)比較a，b，m，n的大小(要求按從小到大排列)；

(3)若m＋n≤2，且過原點(diǎn)存在兩條互相垂直的直線與曲線y＝f(x)均相切，求y＝f(x)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012-2013學(xué)年寧夏高三第五次月考理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

設(shè)函數(shù)f(x)＝，D是由x軸和曲線y＝f(x)及該曲線在點(diǎn)(1,0)處的切線所圍成的封閉區(qū)域，則z＝x－2y在D上的最大值為________．

 

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