Question

已知拋物線y²=2px（p＞0）上存在關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的點(diǎn)，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

分析：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn)，C（x₀，y₀）為AB的中點(diǎn)．設(shè)AB的直線方程為y=kx+b．由直線AB與x+y=1垂直，得k=1，由

y=x+b y2=2px

，得到 x²+（2b-2p）x+b²=0，由此能求出實(shí)數(shù)p的取值范圍．

解答：解：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線x+y=1對(duì)稱的兩點(diǎn)，
C（x₀，y₀）為AB的中點(diǎn)．設(shè)AB的直線方程為y=kx+b．
由直線AB與x+y=1垂直，得k=1…（3分）
由

y=x+b y2=2px

，
得到 x²+（2b-2p）x+b²=0…（5分）
△=4p（p-2b）＞0，得p＞2b，…．①

x1+x2=2p-2b x1x2=b2

…（8分）
C（p-b，y₀）代入y=x+b中，得到C（p-b，p）
同時(shí)C又在x+y=1上得b=2p-1…②…（10分）
由①②可得p＜

2

3

，
∵p＞0，∴0＜p＜

2

3

，
實(shí)數(shù)p的取值范圍是{p|o＜p＜

2

3

}．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．