Question

函數(shù)f（x）=Asin（wx+?）-1（A＞0，w＞0，|?|＜

π

2

)的最大值為2，其圖象相鄰兩個(gè)對(duì)稱(chēng)中心之間的距離為

π

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-

π

12

，

1

12

)．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f(α)=

7

5

，且α∈[

π

12

，

π

4

]，求f(

α

2

+

π

6

)的值．

Answer 1

分析：（1）依題意可求得A，ω，φ，從而可求得f（x）的解析式，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f（α）=

7

5

，可求得sin（2α+

π

3

）與cos（2α+

π

3

）的值，而f（

α

2

+

π

6

）=3cos（α+

π

6

）-1，利用余弦的半角公式即可求得答案．

解答：解：（1）由已知：A=3，ω=2，φ=

π

3

，f（x）=3sin（2x+

π

3

）-1…（3分）
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

（k∈Z），
所以f（x）單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）…（6分）
（2）由f（α）=

7

5

，得sin（2α+

π

3

）=

4

5

，
∵α∈[

π

12

，

π

4

]，
∴cos（2α+

π

3

）=-

3

5

，…（9分）
∴f（

α

2

+

π

6

）=3sin（2α+

2π

3

）-1
=3cos（α+

π

6

）-1
=3

1+cos(2α+ π 3 ) 2

-1
=

3 5

5

-1…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查半角公式的應(yīng)用，是三角中的綜合題，屬于中檔題．