Question

（2013•順義區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=

ex

1+ax2

，其中a為正實(shí)數(shù)，e=2.718…．
（I）若x=

1

2

是y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求a的值；
（II）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）依題意，由f′（

1

2

）=0，即可求得a的值；
（II）求f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

，令f′（x）=0可求得方程ax²-2ax+1=0的根，將f′（x）與f（x）的變化情況列表，可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解答：解：f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

．
（I）因?yàn)閤=

1

2

是函數(shù)y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，
所以f′（

1

2

）=0，
因此

1

4

a-a+1=0，
解得a=

4

3

．
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)a=

4

3

時(shí)，x=

1

2

是y=f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，故所求a的值為

4

3

．…（4分）
（II）f′（x）=

(ax2-2ax+1)ex

(1+ax2)2

（a＞0），
令f′（x）=0得ax²-2ax+1=0…①
（i）當(dāng)△=（-2a）²-4a＞0，即a＞1時(shí)，方程①兩根為
x₁=

2a- 4a2-4a

2a

=

a- a2-a

a

，x₂=

a+ a2-a

a

．
此時(shí)f′（x）與f（x）的變化情況如下表：

x	（-∞， a- a2-a a ）	a- a2-a a	（ a- a2-a a ， a+ a2-a a ）	a+ a2-a a	（ a+ a2-a a ，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，

a- a2-a

a

），（

a+ a2-a

a

，+∞）； f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（

a- a2-a

a

，

a+ a2-a

a

）．
（ii）當(dāng)△=4a²-4a≤0時(shí)，即0＜a≤1時(shí)，ax²-2ax+1≥0，
即f′（x）≥0，此時(shí)f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）．…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求得f′（x）=0之后，將f′（x）與f（x）的變化情況列表是關(guān)鍵，屬于中檔題．