已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線焦點，直線y=x截拋物線C所得弦|ON|=4
2
．
（1）求拋物線C的方程；
（2）若直線過點F交拋物線于A，B兩點，交x軸于點M，且
MA
=a
AF
，
MB
=b
BF
，對任意的直線l，a+b是否為定值？若是，求出a+b的值；否則，說明理由．
（1）由
y=x
x2=2py
，解得O（0，0），N（2p，2p）
∵|ON|=4
2

∴4p2+4p2=32
∴p=2
∴拋物線C的方程為x2=4y；
（2）顯然直線l的斜率一定存在，設其方程為y=kx+1，l與x軸交于M（-
1
k
，0）
設l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）
直線與拋物線聯(lián)立，消元可得x2-4kx-4=0
∴x1+x2=4k，x1x2=-4
由
MA
=a
AF
，得（x1+
1
k
，y1）=a（-x1，1-y1），即a=-
kx1+1
kx1

同理b=-
kx2+1
kx2

∴a+b=-（2+
x2+x1
kx1x2
）=-1
∴對任意的直線l，a+b為定值．
練習冊系列答案
相關習題

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已知拋物線C的方程為y=x2，過（0，1）點的直線l與C相交于點A，B，證明：OA⊥OB（O為坐標原點）

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（2013•浙江模擬）已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0），直線：x+y=m與x軸的交點在拋物線C準線的右側．
（Ⅰ）求證：直線與拋物線C恒有兩個不同交點；
（Ⅱ）已知定點A（1，0），若直線與拋物線C的交點為Q，R，滿足
AQ
•
AR
=0，是否存在實數(shù)m，使得原點O到直線的距離不大于
2
4
，若存在，求出正實數(shù)p的取值范圍；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•合肥三模）已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），過拋物線上點M（-2
p
，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為
p
，且點N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結論．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為x2=2py（p＞0），焦點F為 （0，1），點P（x1，y1）是拋物線上的任意一點，過點P作拋物線的切線交拋物線的準線l于點A（s，t）．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2）若x1∈[1，4]，求s的取值范圍．
（3）過點A作拋物線C的另一條切線AQ，其中Q（x2，y2）為切點，試問直線PQ是否恒過定點，若是，求出定點；若不是，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知拋物線C的方程為y2=2px（p＞0且p為常數(shù)），過焦點F作直線與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）
①求證：4x1x2=p2
②若拋物線C的準線l與x軸交于N點且AB⊥AN，求|x1-x2|

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